进制转换

　　进制转换是人们利用符号来计数的方法。进制转换由一组数码符号和两个基本因素“基数”与“位权”构成。基数是指，进位计数制中所采用的数码(数制中用来表示“量”的符号)的个数。位权是指，进位制中每一固定位置对应的单位值。

　　进制转换的本质(进制转换原理)我们知道十进制转换成R进制用短除法，但是为什么用短除法呢?请往下看。“数制”只是一套符号系统来表示指称“量”的多少。我们用“1”这个符号来表示一个这一“量”的概念。自然界的“量”是无穷的，我们不可能为每一个“量”都造一个符号，这样的系统没人记得住。所以必须用有限的符号按一定的规律进行排列组合来表示这无限的“量”。符号是有限的，这些符号按照某种规则进行排列组合的个数是无限的。十进制是10个符号的排列组合，二进制是2个符号的排列组合。在进行进制转换时有一基本原则：转换后表达的“量”的多少不能发生改变。二进制中的111个苹果和十进制中的7个苹果是一样多的。十进制中的数位排列是这样的…… 万 千 百 十 个 十分 百分 千分……R进制中的数位排列是这样的……R^4 R^3R^2 R^1 R^0 R^-1 R^-2 R^-3……可以看出相邻的数位间相差进制的一次方。以下部分来源：知乎网友进制这事儿，说到底就是位值原理，即：同一个数字，放在不同的数位上，代表不同大小的“量”。例如：十进制中，百位上的1表示100，十位上的1表示10。任何进制中，每个数都可以按位权展开成各个数位上的数字乘以对应数位的位权，再相加的形式，如：

　　十进制的123=1×100+2×10+3×1

　　十进制的9876=9×1000+8×100+7×10+6×1

　　问：为啥相应的数位是1000、100、10、1?为啥不是4、3、2、1?

　　答：十进制，满十进一，再满十再进一，因此要想进到第三位，得有10×10;第4位得有10×10×10

　　这样我们就知道了：对10进制，从低位到高位，依次要乘以10^0，10^1,10^2,10^3……，也就是1、10、100、1000

　　对2进制，从低位到高位，依次要乘以2^0，2^1,2^2,2^3……，也就是1、2、4、8、……

　　下面我们开始转换进制(以十进制换成二进制为例)：

　　原来十进制咱们的数位叫 千位、百位、十位……

　　现在二进制数位变成了八位、四位、二位……

　　模仿上面十进制按位权展开的方式，把二进制数1011按权展开：1011=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11

　　接下来我们进行十进制往二进制的转换：

　　比较小的数，直接通过拆分就可以转换回去

　　比如13，我们把数位摆好八位、四位、二位，不能写十六了，因为一旦“十六”那个数位上的符号是“1”，那就表示有1个16，即便后面数位上的符号全部是“0”，把这个二进制数按权位展开后，在按照十进制的运算规律计算，得到的数也大于13了。那最多就只能包含“八”这个数位。 13-8=5，5当中有4，5-4=1

　　好啦，我们知道13=1*8+1*4+0*2+1*1 把“1”、“1”、“0”“1”这几个符号放到数位上去：八位、四位、二位、一位

　　1 1 0 1

　　于是十进制数13=二进制数1101

　　现在你按照书上说的短除法来试试，会发现它和你凑数得到的结果刚好是一样的，为什么短除法可以实现进制的转换呢?为什么每次要除以进制呢?为什么要把余数倒着排列呢?

　　想要知道其中的道理的话，请仔细品味以下的递归原理(不知道递归没关系)：

　　(1)一个十进制数321的末尾是1，意味着一定是……+1，省略号部分一定是10的倍数，所以一个十进制数末尾是1意味着十进制数除以进制10一定余1。所以第一次除以10之后的余数，应该放在十进制的最后一个数位“个位”，也就是说个位上的符号是1。类比，一个二进制数111(注意，数值不等于上面十进制的111)末尾是1，意味着一定是……+1，前面的省略号部分都是2的倍数。所以一个二进制数末尾是1，意味着它对应的十进制数除以进制2一定余1。所以第一次除以2之后的余数，应该放在二进制的最后一个数位“一位”，也就是说一位上的符号是1。(2)如果一个十进制数321“十位”是2，我们希望把它转换为(1)的情况。那么我们把这个十进制数的末尾抹掉，也就是减去“个位”上的1，再除以进制10，得到32。这样原来“十位”上的“2”就掉到了“个位”上。再把32做(1)的处理。类比，如果一个二进制数111“二位”是1，我们希望把它转换为(1)的情况，那么我们把这个二进制数的末尾抹掉，也就是减去“一位”上的1，再除以进制2，得到11。这样原来“二位”上的“1”就掉到了“一位”上。再把11做(1)的处理。总结：其实这个过程就是把各个数位上的符号求出来的过程。现在你应该可以回答以下问题了：为什么短除法可以实现进制的转换呢?为什么每次要除以进制呢?为什么要把余数倒着排列呢?R进制转换成十进制就是按权位展开，把展开式放到十进制下，再按照“十进制”的运算规律计算。因为是十进制，所以就允许使用2、3、4、5、6、7、8、9了。所以2的n次方就不用写成指数，而可以用另外的八个符号来表示了。