基于John Carmark密码详解

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有人在Quake III的源代码里面发现这么一段用来求平方根的代码:

/*================SquareRootFloat================*/

float SquareRootFloat(float number) {
    long i;
    float x, y;
    const float f = 1.5F;
    x = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;
    i  = 0x5f3759df - ( i 1 );  //注意这一行
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    return number * y;
}

x5f3759df？ 这是个什么东西？ 学过数值分析就知道，算法里面求平方根一般采用
的是无限逼近的方法，比如牛顿迭代法，抱歉当年我数值分析学的太烂，也讲不清楚
。简单来说比如求5的平方根，选一个猜测值比如2，那么我们可以这么算

/2 = 2.5; 2.5+2/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; 2.25+xxx/2 = xxxx ...
这样反复迭代下去，结果必定收敛于sqrt(5)，没错，一般的求平方根都是这么算的
。而卡马克的不同之处在于，他选择了一个神秘的猜测值0x5f3759df作为起始，使得
整个逼近过程收敛速度暴涨，对于Quake III所要求的精度10的负三次方，只需要一
次迭代就能够得到结果。

好吧，如果这还不算牛b，接着看。

普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的
这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个
最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？

传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始
值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是
卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。

最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数
字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴
力得出的数字是0x5f375a86。

Lomont为此写下一篇论文，"Fast Inverse Square Root"。

我把这个函数用C#就行了一下改写：
代码如下：

using System;
 using System.Collections.Generic;
 using System.Text;

 namespace ConsoleApplication1
 {
     class Program
     {
         static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine("Carmark's method:");
            Console.WriteLine(SquareRootFloat(3.0f).ToString());
            Console.WriteLine("Use Math.Sqrt() method:");
            Console.WriteLine(((float)Math.Sqrt(3.0)).ToString());
            Console.Read();
        }

        private static float SquareRootFloat(float number)
        {

            long i;
            float x, y;
            const float f = 1.5F;
            x = number * 0.5F;
            y  = number;
            unsafe
            {
                i  = * ( long * ) &y;
                i  = 0x5f3759df - ( i 1 );  //注意这一行
                y  = * ( float * ) &i;
            }
            y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
            y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
            return number * y;
        }
    }
}

 第32、33行用了两次牛顿迭代法，以达到一定的精度，当然你也可以自己控制精度，求出来的是y的平方根的倒数，所以最后返回为number*y.

SquareRootFloat函数最关键的一句就是 i=0x5f3759df-(i1);
以下是对它的部分解释：

牛顿迭代法最关键的地方在于估计第一个近似根。如果该近似根与真根足够靠近的话,那么只需要少数几次迭代,就可以得到满意的解。

接着,我们要设法估计第一个近似根。这也是上面的函数最神奇的地方。它通过某种方法算出了一个与真根非常接近的近似根,因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较满意的解。它是怎样做到的呢？所有的奥妙就在于这一行：

i = 0x5f3759df - (i 1); // 计算第一个近似根

超级莫名其妙的语句,不是吗？但仔细想一下的话,还是可以理解的：float类型的数据在32位系统上是这样表示的。

bits：31 30 ... 031：符号位30-23：共8位,保存指数（E）22-0：共23位,保存尾数（M）

所以,32位的浮点数用十进制实数表示就是：M*2^E。开根然后倒数就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)。现在就十分清晰了。语句i1其工作就是将指数除以2,实现2^(E/2)的部分。而前面用一个常数减去它,目的就是得到M^(1/2)同时反转所有指数的符号。