贪婪算法---0/1背包问题

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在0 / 1背包问题中，需对容量为c 的背包进行装载。从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为wi ，价值为pi 。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指所装入的物品价值最高，即n ？i=1pi xi 取得最大值。约束条件为n ？i =1wi xi≤c 和xi？[ 0 , 1 ] ( 1≤i≤n)。 在这个表达式中，需求出xt 的值。xi = 1表示物品i 装入背包中，xi =0 表示物品i 不装入背包。0 / 1背包问题是一个一般化的货箱装载问题，即每个货箱所获得的价值不同。货箱装载问题转化为背包问题的形式为：船作为背包，货箱作为可装入背包的物品。 例1-8 在杂货店比赛中你获得了第一名，奖品是一车免费杂货。店中有n 种不同的货物。规则规定从每种货物中最多只能拿一件，车子的容量为c，物品i 需占用wi 的空间，价值为pi 。你的目标是使车中装载的物品价值最大。当然，所装货物不能超过车的容量，且同一种物品不得拿走多件。这个问题可仿照0 / 1背包问题进行建模，其中车对应于背包，货物对应于物品。 0 / 1背包问题有好几种贪婪策略，每个贪婪策略都采用多步过程来完成背包的装入。在每一步过程中利用贪婪准则选择一个物品装入背包。一种贪婪准则为：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如，考虑n=2, w=[100,10,10], p =[20,15,15], c = 1 0 5。当利用价值贪婪准则时，获得的解为x= [ 1 , 0 , 0 ]，这种方案的总价值为2 0。而最优解为[ 0 , 1 , 1 ]，其总价值为3 0。 另一种方案是重量贪婪准则是：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n= 2 ,w=[10,20], p=[5,100], c= 2 5。当利用重量贪婪策略时，获得的解为x =[1,0], 比最优解[ 0 , 1 ]要差。 还可以利用另一方案，价值密度pi /wi 贪婪算法，这种选择准则为：从剩余物品中选择可 装入包的pi /wi 值最大的物品，这种策略也不能保证得到最优解。利用此策略试解n= 3 ,w=[20,15,15], p=[40,25,25], c=30 时的最优解。 我们不必因所考察的几个贪婪算法都不能保证得到最优解而沮丧， 0 / 1背包问题是一个N P-复杂问题。对于这类问题，也许根本就不可能找到具有多项式时间的算法。虽然按pi /wi 非递（增）减的次序装入物品不能保证得到最优解，但它是一个直觉上近似的解。我们希望它是一个好的启发式算法，且大多数时候能很好地接近最后算法。在6 0 0个随机产生的背包问题中，用这种启发式贪婪算法来解有2 3 9题为最优解。有5 8 3个例子与最优解相差1 0 %，所有6 0 0个答案与最优解之差全在2 5 %以内。该算法能在O (nl o gn)时间内获得如此好的性能。我们也许会问，是否存在一个x (x1 0 0 )，使得贪婪启发法的结果与最优值相差在x%以内。答案是否定的。为说明这一点，考虑例子n =2, w = [ 1 ,y], p= [ 1 0 , 9y], 和c= y。贪婪算法结果为x=[1,0], 这种方案的值为1 0。对于y≥1 0 / 9，最优解的值为9 y。因此，贪婪算法的值与最优解的差对最优解的比例为( ( 9y - 1 0)/9y* 1 0 0 ) %，对于大的y，这个值趋近于1 0 0 %。但是可以建立贪婪启发式方法来提供解，使解的结果与最优解的值之差在最优值的x% (x100) 之内。首先将最多k 件物品放入背包，假如这k 件物品重量大于c，则放弃它。否则，剩余的容量用来考虑将剩余物品按pi /wi 递减的顺序装入。通过考虑由启发法产生的解法中最多为k 件物品的所有可能的子集来得到最优解。 例13-9 考虑n =4, w=[2,4,6,7], p=[6,10,12,13], c = 11。当k= 0时，背包按物品价值密度非递减顺序装入，首先将物品1放入背包，然后是物品2，背包剩下的容量为5个单元，剩下的物品没有一个合适的，因此解为x = [ 1 , 1 , 0 , 0 ]。此解获得的价值为1 6。 现在考虑k = 1时的贪婪启发法。最初的子集为{ 1 } , { 2 } , { 3 } , { 4 }。子集{ 1 } , { 2 }产生与k= 0时相同的结果，考虑子集{ 3 }，置x3 为1。此时还剩5个单位的容量，按价值密度非递增顺序来考虑如何利用这5个单位的容量。首先考虑物品1，它适合，因此取x1 为1，这时仅剩下3个单位容量了，且剩余物品没有能够加入背包中的物品。通过子集{ 3 }开始求解得结果为x = [ 1 , 0 , 1 , 0 ]，获得的价值为1 8。若从子集{ 4 }开始，产生的解为x = [ 1 , 0 , 0 , 1 ]，获得的价值为1 9。考虑子集大小为0和1时获得的最优解为[ 1 , 0 , 0 , 1 ]。这个解是通过k= 1的贪婪启发式算法得到的。 若k= 2，除了考虑k 2的子集，还必需考虑子集{ 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 1 , 4 } , { 2 , 3 } , { 2 , 4 }和{ 3 , 4 }。首先从最后一个子集开始，它是不可行的，故将其抛弃，剩下的子集经求解分别得到如下结果：[ 1 , 1 , 0 , 0 ] , [ 1 , 0 , 1 , 0 ] , [ 1 , 0 , 0 , 1 ] , [ 0 , 1 , 1 , 0 ]和[ 0 , 1 , 0 , 1 ]，这些结果中最后一个价值为2 3，它的值比k= 0和k= 1时获得的解要高，这个答案即为启发式方法产生的结果。 这种修改后的贪婪启发方法称为k阶优化方法（k - o p t i m a l）。也就是，若从答案中取出k 件物品，并放入另外k 件，获得的结果不会比原来的好，而且用这种方式获得的值在最优值的( 1 0 0 / (k + 1 ) ) %以内。当k= 1时，保证最终结果在最佳值的5 0 %以内；当k= 2时，则在3 3 . 3 3 %以内等等，这种启发式方法的执行时间随k 的增大而增加，需要测试的子集数目为O (nk )，每一个子集所需时间为O (n)，因此当k 0时总的时间开销为O (nk+1 )。实际观察到的性能要好得多。