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树
因为现实世界中存在这“树”这种结构——族谱、等级制度、目录分类等等，而为了研究这类问题，必须能够将树储存，而如何储存将取决于所需要的操作。这里有个问题，是否答应存在空树。
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有些书认为树都是非空的，因为树表示的是一种现实结构，而0不是自然数；我用过的教科书都是说可以有空树，当然是为了和二叉树统一。这个没有什么原则上的差别，反正就是一种习惯。
二叉树
二叉树可以说是人们假想的一个模型，因此，答应有空的二叉树是无争议的。二叉树是有序的，左边有一个孩子和右边有一个的二叉树是不同的两棵树。做这个规定，是因为人们赋予了左孩子和右孩子不同的意义，在二叉树的各种应用中，你将会清楚的看到。下面只讲解链式结构。看各种讲数据结构的书，你会发现一个有趣的现象：在二叉树这里，基本操作有计算树高、各种遍历，就是没有插入、删除——那树是怎么建立起来的？其实这很好理解，对于非线性的树结构，插入删除操作不在一定的法则规定下，是毫无意义的。因此，只有在具体的应用中，才会有插入删除操作。
节点结构
数据域、左指针、右指针肯定是必须的。除非很少用到节点的双亲，或者是资源紧张，建议附加一个双亲指针，这将会给很多算法带来方便，尤其是在这个“空间换时间”的时代。
template class T
strUCt BTNode
{
BTNode(T data = T(), BTNodeT* left = NULL, BTNodeT* right = NULL, BTNodeT* parent = NULL)
: data(data), left(left), right(right), parent(parent) {}
BTNodeT *left, *right, *parent;
T data;
};
基本的二叉树类
template class T
class BTree
{
public:
BTree(BTNodeT *root = NULL) : root(root) {}
~BTree() { MakeEmpty(); }
void MakeEmpty() { destroy(root); root = NULL; }
protected:
BTNodeT *root；
private:
void destroy(BTNodeT* p)
{
if (p)
{
destroy(p-left);
destroy(p-right);
delete p;
}
}
}
二叉树的遍历
基本上有4种遍历方法，先、中、后根，逐层。当初我对这个很迷惑，搞这么多干什么？到了后面才明白，这是不同的应用需要的。例如，判定两个二叉树是否相等，只要子树根节点不同，那么就不等，显然这时要用先序遍历；而删除二叉树，必须先删除左右子树，然后才能删除根节点，这时就要用后序遍历。
实际上，搞这么多遍历方法，根本原因是在内存中储存的树是非线性结构。对于用数组储存的二叉树，这些名目繁多的方法都是没有必要的。利用C++的封装和重载特性，这些遍历方法能很清楚的表达。
1. 前序遍历
public:
void PreOrder(void (*visit)(T &data) = print) { PreOrder(root, visit); }
private:
void PreOrder(BTNodeT* p, void (*visit)(T &data))
{
if (p){ visit(p-data); PreOrder(p-left, visit); PreOrder(p-right, visit); }
}
2. 中序遍历
public:
void InOrder(void (*visit)(T &data) = print) { InOrder(root, visit); }
private:
void InOrder(BTNodeT* p, void (*visit)(T &data))
{
if (p){ InOrder(p-left, visit); visit(p-data); InOrder(p-right, visit); }
}
3. 后序遍历
public:
void PostOrder(void (*visit)(T &data) = print) { PostOrder(root, visit); }
private:
void PostOrder(BTNodeT* p, void (*visit)(T &data))
{
if (p){ PostOrder(p-left, visit); PostOrder(p-right, visit); visit(p-data); }
}
4. 层次遍历
void LevelOrder(void (*visit)(T &data) = print)
{
queue BTNodeT* a; BTNodeT* p = root;//记得#includequeue
while (p)
{
visit(p-data);
if (p-left) a.push(p-left); if (p-right) a.push(p-right);
if (a.empty()) break; p = a.front(); a.pop();
}
}
附注：缺省的visit函数print如下
private:
static void print(T &data) { cout data ' ';｝
5. 不用栈的非递归中序遍历
当有parent指针时，可以不用栈实现非递归的中序遍历，书上提到了有这种方法，但没给出例程。
public:
BTNodeT* next()
{
if(!current) return NULL;
if (current-right) { current = current-right; while (current-left) current = current-left; }
else
{
BTNodeT* y = current-parent;
while (y && current == y-right) {current = y; y = y-parent; }
current = y;
}
return current;
}
private:
BTNodeT* current;
上面的函数能使current指针向前移动一个位置，假如要遍历整棵二叉树，需要使current指向中序序列的第一个节点，例如下面的成员函数：
public:
void first() { current = root; while (current-left) current = current-left; }
更多内容请看C/C++技术专题 数据结构 数据结构教程专题，或 线索化二叉树
这是数据结构课程里第一个碰到的难点，不知道你是不是这样看，反正我当初是费了不少脑细胞——当然，恼人的矩阵压缩和相关的加法乘法运算不在考虑之列。
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我费了不少脑细胞是因为思考：他们干什么呢？很欣喜的看到在这本黄皮书上，这章被打了*号，虽然我不确定作者是不是跟我一个想法——线索化二叉树在现在的PC上是毫无用处的！——不知我做了这个结论是不是会被人骂死。
为了证实这个结论，我们来看看线索化二叉树提出的缘由：第一，我们想用比较少的时间，寻找二叉树某一个遍历线性序列的前驱或者后继。当然，这样的操作很频繁的时候，做这方面的改善才是有意义的。第二，二叉树的叶子节点还有两个指针域没有用，可以节省内存。说真的，提出线索化二叉树这样的构思真的很精巧，完全做到了“废物利用”——这个人真应该投身环保事业。但在计算机这个死板的东西身上，人们的精巧构思往往都是不能实现的——为了速度，计算机的各个部件都是整洁划一的，而构思的精巧往往都是建立在组成的复杂上的。
我们来看看线索化二叉树究竟能不能达到上面的两个目标。
求遍历后的线性序列的前驱和后继。前序线索化能依次找到后继，但是前驱需要求双亲；中序线索化前驱和后继都不需要求双亲，但是都不很直接；后序线索化能依次找到前驱，但是后继需要求双亲。可以看出，线索化成中序是最佳的选择，基本上算是达到了要求。
节省内存。添加了两个标志位，问题是这两个位怎么储存？即使是在支持位存储的CPU上，也是不能拿位存储器来存的，第一是因为结构体成员的地址是在一起的，第二是位存储器的数目是有限的。因此，最少需要1个字节来储存这两个标志位。而为了速度和移植，一般来说，内存是要对齐的，实际上根本就没节省内存！然而，当这个空间用来储存双亲指针时，带来的方便绝对不是线索化所能比拟的，前面已经给出了无栈的非递归遍历。并且，在线索化二叉树上插入删除操作附加的代价太大。
综上，线索化最好是中序线索化（前序后序线索化后还得用栈，何必要线索化呢），附加的标志域空间至少1个字节，在32位的CPU会要求对齐到4字节，还不如存储一个双亲指针，同样能达到中序线索化的目的，并且能带来其他的好处。所以，线索化二叉树在现在的PC上是毫无用处的！
由于对其他体系不太了解，以下观点姑妄听之。在内存空间非常充裕的现在，一个节点省2～3个字节实在是没什么意思（实际上由于对齐还省不出来）；而在内存非常宝贵的地方（比如单片机），会尽量避免使用树结构——利用其他的方法。所以，现在看来，线索化二叉树真的是毫无用处了。
二叉搜索树
这恐怕是二叉树最重要的一个应用了。它的构想实际是个很自然的事情——查找值比当前节点小转左，大转右，等则查到，到头了就是没找着。越自然的东西越好理解，也就越不需要我废话。在给出BST的实现之前，我们要在二叉树的类中添加一个打印树状结构的成员函数，这样，就能清楚的看出插入和删除过程。
public:
void print()
{
queue BTNodeT* a; queuebool flag; ofstream outfile("out.txt");
BTNodeT* p = root; BTNodeT zero; bool v = true;
int i = 1, level = 0, h = height();
while (i 2h)
{
if (i == 1level)
{
cout endl setw(2 (h - level)); level++;
if (v) cout p-data;
else cout ' ';
}
else
{
cout setw(4 (h - level + 1));
if (v) cout p-data;
else cout " ";
}
if (p-left) { a.push(p-left); flag.push(true); }
else { a.push(&zero); flag.push(false); }
if (p-right) { a.push(p-right); flag.push(true); }
else { a.push(&zero); flag.push(false); }
p = a.front(); a.pop(); v = flag.front(); flag.pop(); i++;
}
cout endl;
}
打印树状结构的核心是按层次遍历二叉树，但是，二叉树有许多节点缺左或右子树，连带的越到下面空隙越大。为了按照树的结构打印，必须把二叉树补成完全二叉树，这样下面的节点就知道放在什么位置了——a.push(&zero);但是这样的节点不能让它打印出来，所以对应每个节点，有一个是否打印的标志，按理说pair结构很合适，为了简单我用了并列的两个队列，一个放节点指针——a，一个放打印标志——flag。这样一来，循环结束的标志就不能是队列空——永远都不可能空，碰到NULL就补一个节点——而是变成了到了满二叉树的最后一个节点2^(height+1)-1。——黄皮书对于树高的定义是，空树为的高度为－1。
对于输出格式，注重的是到了第1、2、4、8号节点要换行，并且在同一行中，第一个节点的域宽是后序节点的一半。上面的函数在树的层次少于等于5（height=4）的时候能正常显示，再多的话就必须输出到文件中去ofstream outfile("out.txt");——假如层次再多的话，打印出来也没什么意义了。
更多内容请看C/C++技术专题 数据结构 数据结构教程专题，或 二叉搜索树的实现
实际上就是在二叉树的基础上增加了插入、删除、查找。
#include "BaseTree.h"
template class T
class BSTree : public BTreeT
{
public:
BTNodeT* &find(const T &data)
{
BTNodeT** p = &root; current = NULL;
while(*p)
{
if ((*p)-data == data) break;
if ((*p)-data data) { current = *p; p = &((*p)-right); }
else { current = *p; p = &((*p)-left); }
}
return *p;
}
bool insert(const T &data)
{
BTNodeT* &p = find(data); if (p) return false;
p = new BTNodeT(data, NULL, NULL, current); return true;
}
bool remove(const T &data)
{
return remove(find(data));
}
private:
bool remove(BTNodeT* &p)
{
if (!p) return false; BTNodeT* t = p;
if (!p-left !p-right)
{
if (!p-left) p = p-right; else p = p-left;
if (p) p-parent = current;
delete t; return true;
}
t=p-right;while(t-left) t=t-left;p-data=t-data;current=t-parent;
return remove(current-left==t？current-left:current-right);
}
};
以上代码有点费解，有必要说明一下——非线性链式结构操作的实现都是很让人费神。insert和remove都是以find为基础的，因此必须让find能最大限度的被这两个操作利用。
1、对于insert，需要修改查找失败时的指针内容，显然这是个内部指针（在双亲节点的内部，而不是象root和current那样在节点外面指向节点），这就要求find返回一个内部指针的引用。但是C++的引用绑定到一个对象之后，就不能再改变了，因此在find内部的实现是一个二重指针。insert操作还需要修改插入的新节点的parent指针域，因此在find中要产生一个能被insert访问的指向find返回值所在节点的指针，这里用的是current。实际上find返回的指针引用不是current-left就是current-right。这样一来，insert的实现就非常简单了。
2、对于remove，需要修改查找成功时的指针内容，同样是个内部指针。在find的基础上，很轻易就能得到这个内部指针的引用(BTNodeT* &p = find(data)。
在p-left和p-right中至少有一个为NULL的情况下，假如p-left ==NULL，那么就重连右子树p = p-right，反之，重连左子树p = p-left。注重，左右子树全空的情况也包含在这两个操作中了——在p-left ==NULL的时候重连右子树，而这时p-right也是NULL——因此不必列出来。假如重连后p不为空，需要修改p-parent = current。
若p-left和p-right都不为空，可以转化为有一个为空。例如一个中序有序序列[1,2,3,4,5]，假设3既有左子树又有右子树，那么它的前驱2一定缺右子树，后继4一定缺少左子树。这样一来删除节点3就等效成从[1,2,3(4),4,5]删除节点4。这样就可以利用上面的在p-left和p-right中至少有一个为NULL的情况下的方法了。还是由于C++的引用不能改变绑定对象，这里是用利用递归来解决的，还好最多只递归一次。假如用二重指针又是满天星星了，这就是明明是尾递归却没有消去的原因。
这是因为，假如3既有左子树又有右子树，那么2一定在3的左子树上，4一定在3的右子树上；假如2有右子树，那么在2和3之间还应该有一个节点；假如4有左子树，那么3和4之间也应该还有一个节点。
上面关于remove操作p-left和p-right都不为空的处理方法的讲解，源于严蔚敏老师的课件，看完后我豁然开朗，真不知道为什么她自己那本《数据结构（C语言版）》这里写的那么难懂，我是死活没看明白。
更多内容请看C/C++技术专题 数据结构 数据结构教程专题，或
递归遍历与非递归遍历
在没有树的慨念，对递归的理解总是很困难，因为不能提出有说服力的例子，只是阐述了“递归是一种思想”。但只要能能让你建立“递归是一种思想”这个观念，我的努力就没有白费。现在，讲完了二叉搜索树，终于有了能说明问题的例子了。按照前面提供的代码，应该能调试通过下面的程序。
#include iostream
using namespace std;
#include stdlib.h
#include time.h
#include "BSTree.h"
#include "Timer.h"
#define random(num) (rand() % (num))
#define randomize() srand((unsigned)time(NULL))
#define NODENUM 200000//node number
int data[NODENUM];
void zero(int &t) { t = 0; }
int main()
{
BSTreeint a; Timer t; randomize(); int i;
for (i = 0; i NODENUM; i++) data[i] = i;
for (i = 0; i NODENUM; i++) swap(data[i], data[random(NODENUM)]);//random swap
t.start(); for (i = 0; i NODENUM; i++) a.insert(data[i]);
cout "Insert time: " t.GetTime() "Node number: " NODENUM endl;
t.start(); for (a.first(); a.get() != NULL; a.next()) a.get()-data = 0;
cout "Non-Stack time: " t.GetTime() endl;
t.start(); a.LevelOrder(zero); cout "LevlOrder time: " t.GetTime() endl;
t.start(); a.PreOrder(zero); cout " PreOrder time: " t.GetTime() endl;
t.start(); a.InOrder(zero); cout " InOrder time: " t.GetTime() endl;
t.start(); a.PostOrder(zero); cout "PostOrder time: " t.GetTime() endl;
return 0;
}
以下是timer.h的内容
#ifndef Timer_H
#define Timer_H
#include windows.h
class Timer
{
public:
Timer() { QueryPerformanceFrequency(&Frequency); }
inline void start() { QueryPerformanceCounter(&timerB); }
inline double GetTime()
{
QueryPerformanceCounter(&timerE);
return (double)(timerE.QuadPart - timerB.QuadPart) / (double)Frequency.QuadPart * 1000.0;
}
private:
LARGE_INTEGER timerB, timerE, Frequency;
};
#endif
上面的程序中，层次遍历用到的是队列，这应该可以代表用栈消解递归的情况，在我的机器C500上运行的结果是：
Insert time: 868.818 Node number: 200000
Non-Stack time: 130.811
LevlOrder time: 148.438
PreOrder time: 125.47
InOrder time: 129.125
PostOrder time: 130.914
以上是VC6的release版的结果，时间单位是ms，不说明会有人认为是死机了，^_^。可以看出，递归遍历实际上并不慢，相反，更快一些，而debug版的结果是这样的：
Insert time: 1355.69 Node number: 200000
Non-Stack time: 207.086
LevlOrder time: 766.023
PreOrder time: 183.287
InOrder time: 179.835
PostOrder time: 190.674
更多内容请看C/C++技术专题 数据结构 数据结构教程专题，或 递归遍历的速度是最快的
这恐怕是上面结果得出的最直接的结论。
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不知从哪听来的观点“递归的速度慢，为了提高速度，应该用栈消解递归”，证据就是斐波那契数列的计算，遗憾的是斐波那契数列的非递归算法是循环迭代，不是栈消解；假如他真的拿栈来模拟，他就会发现，其实用栈的更慢。
我们来看看为什么。递归的实现是将参数压栈，然后call自身，最后按层返回，一系列的动作是在堆栈上操作的，用的是push、pop、call、ret之类的指令。而用ADT栈来模拟递归调用，实现的还是上述指令的功能，不同的是那些指令对照的ADT实现可就不只是一条指令了。谁都明白模拟的执行效率肯定比真实的差，怎么会在这个问题上就犯糊涂了呢？
当然，你非要在visit函数中加入类似这样的istream file1(“input.txt”)，然后在用栈模拟的把这个放在循环的外面，最后你说，栈模拟的比递归的快，我也无话可说——曾经就见过一个人，http://www.csdn.net/Develop/Read_Article.ASP？Id=18342将数据库连接放在visit函数里面，然后说递归的速度慢。
假如一个递归过程用非递归的方法实现后，速度提高了，那只是因为递归做了一些无用功。比如用循环消解的尾递归，是多了无用的压栈和出栈才使速度受损的；斐波那契数列计算的递归改循环迭代所带来的速度大幅提升，是因为改掉了重复计算的毛病。假使一个递归过程必须要用栈才能消解，那么，完全模拟后的结果根本就不会对速度有任何提升，只会减慢；假如你改完后速度提升了，那只证实你的递归函数写的有问题，例如多了许多重复操作——打开关闭文件、连接断开数据库，而这些完全可以放到递归外面。递归方法本身是简洁高效的，只是使用的人不注重使用方法。
这么看来，研究递归的栈消解似乎是无用的，其实不然，用栈模拟递归还是有点意义的，只是并不大，下面将给出示例来说明。
栈模拟递归的好处是节省了堆栈
将上面的程序//node number那行的数值改为15000——不改没反应了别找我，将//random swap那行注释掉，运行debug版，耐心的等30秒，就会抛异常了，最后的输出结果是这样的：
Insert time: 27555.5 Node number: 15000
Non-Stack time: 16.858
LevlOrder time: 251.036
这只能说明堆栈溢出了。你可以看到层次遍历还能工作（由此类推，栈模拟的也能工作），但是递归的不能工作了。这是因为和总的内存空间比起来，堆栈空间是很少的，假如递归的层次过深，堆栈就溢出了。所以，假如你预先感到递归的层次可能过深，你就要考虑用栈来消解了。
然而，假如你必须用递归，而递归的层次深到连堆栈都溢出了，那肯定是你的算法有问题，或者是那个程序根本不适合在PC上运行——运行起来就象死机了，这样的程序谁敢用？所以说用栈模拟递归是有意义的，但是不大，因为很少用到。
对于树结构来说，假如没有双亲指针，那么遍历时的递归是必须的，与其搞什么栈消解不如添加一个双亲指针，这实际上也是用堆空间换取堆栈空间的一个方法，只是比ADT栈来得直接、高效罢了。
综上，递归的栈消解，实际上只能节省堆栈空间，不仅不会提高速度，相反却会降低——天下哪有白吃的午餐，既省了堆栈空间还能提高速度。那些“栈消解递归能提高速度”的谣传只是对“消除尾递归能提高速度”的不负责任的引申，然而一群人以讹传讹，真就像是那么回事了，这就叫三人成虎。等我这时候再回过头看教科书，竟然没看见一本书上写着“栈消解递归能提高速度”。真的，以前一直被误导了，还不知道是被谁误导的——书上根本就没有写。
另外的结论
对比上面两组结果，可以看到插入15000个节点比200000个节点消耗的时间还多，其原因就是插入数据的顺序不同，从而导致了find的效率不同。随机的顺序大致能保证树的左右子树分布均匀，而有序的序列将使树退化成单支的链表，从而使得O(logN)的时间复杂度变成了O(N)。同时，这也是为什么200000个节点的树递归遍历还能工作，而递归遍历15000个节点的树堆栈就溢出了——递归的每一层对应的节点太少了。
为了提高find的效率，同时也是使树的递归遍历方法的使用更为宽泛，有必要研究如何能使树的高度降低，这就是下面将要讲到的平衡树的来由。
更多内容请看C/C++技术专题 数据结构 数据结构教程专题，或
